はじめに
境界層理論の講義を受けた(しかも単位を取得した)はずなのに， さっぱり分からん状態になっていたので復習する．
そもそもなぜよくわからない？
"実はここあまりよく分かっておらんのよね..."を改めて書き起こしてみると，(私の場合は)次のようである．
- 境界層理論のゴール設定があやふや．
- 導出過程が追えてない．
さらに深く考えると，
- そもそも基礎方程式の理解があいまい．
- 導出における仮定の理解が甘い．
これらが原因な気がする．
境界層理論のゴールってなんだっけ...？
境界層厚さ？が具体的に〇〇mである？が導出できれば良い？ (＠ある代表長さ，ある代表速度)
境界層理論のゴールはとは何だろう？という問いに対しては，いったん "境界層近似から基礎方程式を導出し，ブラジウス解を数値解析的に解いて， 境界層厚さを算出する" ということにする．
導出過程ってなんだっけ...？
とりあえず正誤不明の状態で概観を書き出すとこんな感じだった気がする．
- なんか近似？はした．
- オーダー比較？で方程式が簡略化した．
- ブラジウス解？で$f$の式が出てきていた．
- 微分方程式？を解いて$\alpha, \beta, \gamma$を出した．
- 主流の〇〇倍が境界層厚さ？みたいな感じだった．
これらをもとに改めて復習する．
本題
参考図書などで確認すると，導出過程は以下のような感じになるであろう．
- 基礎方程式
- 仮定
- 近似
- オーダー比較
- 座標変換，移動座標系
- ブラジウス解
- 微分方程式
- べき級数展開
- 解の接続
- $f$のプロット
- 境界層の定量的定義
基礎方程式の復習
どの教科書にも書いてある．ここでは2次元平板について考える． 基礎方程式は，連続の式とナビエストークス方程式の2つである． 非圧縮性流体とすると，
連続の式: $$ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0 $$
ナビエストークス方程式:
$$
\frac{\partial u}{\partial t}
+ u \frac{\partial u}{\partial x}
+ v \frac{\partial u}{\partial y}
= - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x}
+ \nu \left(
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +
\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}
\right)
\\
\frac{\partial v}{\partial t}
+ u \frac{\partial v}{\partial x}
+ v \frac{\partial v}{\partial y}
= - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x}
+ \nu \left(
\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} +
\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}
\right)
$$
仮定
- 2次元平板流れ
- レイノルズ数が十分大きい (しかし，層流を保っている．極限だとポテンシャル流れ)
- 境界層は代表長さと比較し薄い
前提となる基本的なオーダ
持っている情報は次の通り．
- 境界層厚さ:$\delta$
- 壁面に沿う距離:$l$
- 主流速:$U$
平板に沿う流れの流速を$u$，平板上流れ方向に$x$，平板に垂直方向に$y$を取る．これらのオーダーは，
$$ \begin{aligned} u &= O(U) &\therefore \frac{u}{U} &\equiv u^ \ast = O(1) \\ y &= O(\delta) &\therefore\frac{y}{l }&\equiv y^ \ast \approx \frac{\delta}{l} = O(\delta) \\ x &= O(l) &\therefore \frac{x}{l} &\equiv x^ \ast = O(1) \end{aligned} $$
程度と見積もることができる． ここで重要なのは，$O(\delta)$ or $O(1)$である．
オーダー比較の試算・練習
まず，本題の比較に入る前にいくつかお試しで例題を取り扱ってみる． ナビエストークス方程式に入っている項についていくつかオーダーを見積もると，
① $\partial u / \partial x$ のオーダー
$$
\frac{\partial u}{\partial x}
= \frac{U}{l} \frac{\partial (u/U)}{\partial (x/l)}
= \frac{U}{l} \frac{\partial u^ \ast}{\partial x^ \ast}
= \frac{U}{l} \frac{\partial (O(1))}{\partial (O(1))}
= \frac{U}{l}O(1)
\quad \therefore \frac{\partial u}{\partial x}
= \frac{U}{l}O(1)
$$
② $\partial v / \partial y$ のオーダー
連続の式より，
$$
\frac{\partial u}{\partial x}
+ \frac{\partial v}{\partial y}
= 0
\quad \therefore \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{U}{l}O(1)
$$
③ $v$ のオーダー
$\partial v / \partial y$ の計算に関して，
$$
\frac{\partial v}{\partial y}
= \frac{U}{l} \frac{\partial (v/U)}{\partial (y/l)}
\approx \frac{U}{l} \frac{\partial (v/U)}{\partial ( O(\delta) )}
$$
だから，
$$
\frac{U}{l} \frac{\partial (v/U)}{\partial ( O(\delta) )} = \frac{U}{l}O(1)
\quad \therefore v = U O(\delta)
$$
ここでは，初めてオーダーを見積もってみて，どの程度かを練習した．次節で本題のオーダーの見積もりと比較に入る．
基礎方程式の無次元化
上述の基礎方程式はオーダー比較において少し不便である．そこで，まずは無次元化する．
$$ \frac{x}{l} \equiv x^\ast ,\quad \frac{y}{l} \equiv y^\ast ,\quad \frac{u}{U} \equiv u^\ast ,\quad \frac{v}{U} \equiv v^\ast ,\quad \frac{p}{\rho U^2} \equiv \frac{p}{P} \equiv p^\ast ,\quad \frac{t}{l/U} \equiv t^\ast $$ とする．$y$と$u$は境界層厚さ($\varepsilon$)程度であることに注意．基礎方程式にも適応して，($l$と$U^2$で割ることにより$Re$が出現する)
連続の式: $$ \frac{\partial u^\ast}{\partial x^\ast} + \frac{\partial v^\ast}{\partial y^\ast} = 0 $$
ナビエストークス方程式: $$ \frac{\partial u^\ast}{\partial t^\ast} + u^\ast \frac{\partial u^\ast}{\partial x^\ast} + v^\ast \frac{\partial u^\ast}{\partial y^\ast} = - \frac{\partial p^\ast}{\partial x^\ast} + \frac{1}{Re} \left( \frac{\partial^2 u^\ast}{\partial {x^\ast}^2} + \frac{\partial^2 u^\ast}{\partial {y^\ast}^2} \right) \\ \frac{\partial v^\ast}{\partial t^\ast} + u^\ast \frac{\partial v^\ast}{\partial x^\ast} + v^\ast \frac{\partial v^\ast}{\partial y^\ast} = - \frac{\partial p^\ast}{\partial y^\ast} + \frac{1}{Re} \left( \frac{\partial^2 v^\ast}{\partial {x^\ast}^2} + \frac{\partial^2 v^\ast}{\partial {y^\ast}^2} \right) $$ となる．
オーダー比較の前準備
上述の通り，前提となる物理量のなオーダーを再掲すると，$u = O(U)$, $x = O(l)$, $y = O(\varepsilon)$であった．
これより，$u^ \ast = O(1)$, $y^\ast = O(\varepsilon)$, $ x^\ast = O(1)$ となる．
これらと連続の式より，$v$のオーダーを見積もることができ(上記の試算練習)，$v^\ast = O(\varepsilon)$を得る．
以上より，ナビエストークス方程式の各項のオーダーを見積もると， $$ \begin{aligned} %%% %%% du/dx %%% \frac{\partial u^\ast}{\partial x^\ast} &= \frac{\partial (u/U)}{\partial (x/l)} \approx \frac{\partial (O(1))}{\partial (O(1))} &\therefore \frac{\partial u^\ast}{\partial x^\ast} &= O(1) \\ %%% %%% du/dy %%% \frac{\partial u^\ast}{\partial y^\ast} &= \frac{\partial (u/U)}{\partial (y/l)} = \frac{l}{\varepsilon} \frac{\partial (u/U)}{\partial (y/\varepsilon)} \approx O(\frac{1}{\varepsilon}) \frac{\partial (O(1))}{\partial (O(1))} &\therefore \frac{\partial u^\ast}{\partial {y^\ast}} &= O(1/\varepsilon) \\ %%% %%% dv/dx %%% \frac{\partial v^\ast}{\partial x^\ast} &= \frac{\partial (v/U)}{\partial (x/l)} \approx \frac{\partial (O(\varepsilon))}{\partial (O(1))} &\therefore \frac{\partial v^\ast}{\partial x^\ast} & = O(\varepsilon) \\ %%% %%% dv/dy %%% \frac{\partial v^\ast}{\partial y^\ast} &= \frac{\partial (v/U)}{\partial (y/l)} \approx \frac{\partial (O(\varepsilon))}{\partial (O(\varepsilon))} &\therefore \frac{\partial v^\ast}{\partial y^\ast} & = O(1) \\ %%% %%% u du/dx %%% u^\ast \frac{\partial u^\ast}{\partial x^\ast} &\approx O(1) \frac{\partial (O(1))}{\partial (O(1))} &\therefore u^\ast\frac{\partial u^\ast}{\partial x^\ast} &= O(1) \\ %%% %%% v du/dy %%% v^\ast \frac{\partial u^\ast}{\partial y^\ast} &\approx O(\varepsilon) \frac{\partial (O(1))}{\partial (O(\varepsilon))} &\therefore v^\ast\frac{\partial u^\ast}{\partial y^\ast} &= O(1) \\ %%% %%% u dv/dx %%% u^\ast \frac{\partial v^\ast}{\partial x^\ast} &\approx O(1) \frac{\partial (O(\varepsilon))}{\partial (O(1))} &\therefore u^\ast\frac{\partial v^\ast}{\partial x^\ast} &= O(\varepsilon) \\ %%% %%% v dv/dy %%% v^\ast \frac{\partial v^\ast}{\partial y^\ast} &\approx O(\varepsilon) \frac{\partial (O(\varepsilon))}{\partial (O(\varepsilon))} &\therefore v^\ast\frac{\partial v^\ast}{\partial y^\ast} &= O(\varepsilon) \\ %%% %%% du^2/dx^2 %%% \frac{\partial^2 u^\ast}{\partial {x^\ast}^2} &= \frac{\partial^2 (O(1))}{\partial ({O(1)}^2)} \approx O(1) &\therefore \frac{\partial^2 u^\ast}{\partial {x^\ast}^2} &= O(1) \\ %%% %%% du^2/dy^2 %%% \frac{\partial^2 u^\ast}{\partial {y^\ast}^2} &= \frac{\partial^2 (O(1))}{\partial ({O(\varepsilon)}^2)} \approx O(1/\varepsilon^2) &\therefore \frac{\partial^2 u^\ast}{\partial {y^\ast}^2} &= O(1/\varepsilon^2) \\ %%% %%% dv^2/dx^2 %%% \frac{\partial^2 v^\ast}{\partial {x^\ast}^2} &= \frac{\partial^2 (O(\varepsilon))}{\partial ({O(1)}^2)} \approx O(\varepsilon^2) &\therefore \frac{\partial^2 v^\ast}{\partial {x^\ast}^2} &= O(\varepsilon^2) \\ %%% %%% dv^2/dy^2 %%% \frac{\partial^2 v^\ast}{\partial {y^\ast}^2} &= \frac{\partial^2 (O(\varepsilon))}{\partial ({O(\varepsilon)}^2)} \approx O(1) &\therefore \frac{\partial^2 v^\ast}{\partial {y^\ast}^2} &= O(1) \end{aligned} $$ となる．
オーダー比較
得られたオーダーをナビエストークス方程式に代入してみると，
$x$-方向: $$ \begin{aligned} &\frac{\partial u^\ast}{\partial t^\ast} &+ &u^\ast \frac{\partial u^\ast}{\partial x^\ast} &+ &v^\ast \frac{\partial u^\ast}{\partial y^\ast} &= & - \frac{\partial p^\ast}{\partial x^\ast} &+ &\frac{1}{Re} &\left( \frac{\partial^2 u^\ast}{\partial {x^\ast}^2} + \frac{\partial^2 u^\ast}{\partial {y^\ast}^2} \right) \\ &O(?)...① &+&O(1) &+&O(1) &=&O(?)...② &+&O(?)...③ &\left( O(1) + O(1/\varepsilon^2) \right) \end{aligned} $$
$y$-方向: $$ \begin{aligned} &\frac{\partial v^\ast}{\partial t^\ast} &+ &u^\ast \frac{\partial v^\ast}{\partial x^\ast} &+ &v^\ast \frac{\partial v^\ast}{\partial y^\ast} &= & - \frac{\partial p^\ast}{\partial y^\ast} &+ &\frac{1}{Re} &\left( \frac{\partial^2 v^\ast}{\partial {x^\ast}^2} + \frac{\partial^2 v^\ast}{\partial {y^\ast}^2} \right) \\ &O(?)...④ &+&O(\varepsilon) &+&O(\varepsilon) &=&O(?)...⑤ &+&O(?)...③ &\left( O(\varepsilon) + O(1/\varepsilon) \right) \end{aligned} $$
となる．ここで，各式の両辺ののオーダーを比較してみる．
$x$-方向:まず，$x$-方向の全体のオーダーに関しては，左辺第2，3項から$O(1)$程度になりそうである．
時間項 ①： $\partial u^\ast / \partial t^\ast$ のオーダーが，$≫O(1)$ or $≪O(1)$ であった場合，流速は時間経過とともに発散 or 消滅する(はずと個人的に予想している)． このような考え方から，①は$\partial u^\ast / \partial t^\ast \approx O(1)$とみなしてよいだろう．
圧力項 ②： $\partial p^\ast / \partial x^\ast$ に関しても，左辺と右辺のオーダーのつり合いを考えれば，$O(1)$ になりそうである．一方，$p \approx O(\rho U^2)$か否かの判別は不明だが，(一般的な流体を扱う限りでは)感覚的には妥当そうに思える． $$ \frac{\partial p^\ast}{\partial x^\ast} = \frac{\partial (p / \rho U^2)}{\partial x / l} = \frac{\partial O(1)}{\partial O(1)} \approx O(1) $$
粘性項 ③： レイノルズ$Re$のオーダーがまだ不明である．粘性項の(括弧)内の項に関して， ${\partial}^2 u^\ast / \partial {x^\ast}^2 ≪ {\partial}^2 u^\ast / \partial {y^\ast}^2$ ($\because O(1) ≪ O(1/\varepsilon^2)$) より， $( {\partial}^2 u^\ast / \partial {x^\ast}^2 + {\partial}^2 u^\ast / \partial {y^\ast}^2 ) \approx ( {\partial}^2 u^\ast / \partial {y^\ast}^2) = O(1/\varepsilon^2)$ であり，全体のオーダーは$O(1)$だから，レイノルズ$Re$のオーダーは，$Re \approx O(\varepsilon^2)$ と導出できる．以上より，オーダーの推定と項の近似を適応して$x$-方向のNS式を修正すると，
$$ \begin{aligned} &\frac{\partial u^\ast}{\partial t^\ast} &+ &u^\ast \frac{\partial u^\ast}{\partial x^\ast} &+ &v^\ast \frac{\partial u^\ast}{\partial y^\ast} &= & - \frac{\partial p^\ast}{\partial x^\ast} &+ &\frac{1}{Re} &\left( \cancelto{0}{\frac{\partial^2 u^\ast}{\partial {x^\ast}^2}} + \frac{\partial^2 u^\ast}{\partial {y^\ast}^2} \right) \\ &O(1)...① &+&O(1) &+&O(1) &=&O(1)...② &+&O(\varepsilon^2)...③ &\left( O(1) + O(1/\varepsilon^2) \right) \end{aligned} $$ となる．
$y$-方向:次に，$y$-方向の全体のオーダーに関しては，左辺第2，3項から$O(\varepsilon)$程度になりそうである(が実際は圧力項だけ異なる)．
粘性項 ③： レイノルズ$Re$のオーダーは，$x$-方向の時同様に考えて$Re = O(\varepsilon^2)$とみなせる．これは，$x$-方向の方程式から導出されたオーダーと等しい．
時間項 ④： $\partial v^\ast / \partial t^\ast$のオーダーは，全体のオーダーから$\partial v^\ast / \partial t^\ast \approx O(\varepsilon)$とみなせる．
圧力項 ⑤： $\partial p^\ast / \partial y^\ast$のオーダーは，全体のオーダーから$\partial p^\ast / \partial y^\ast \approx O(\varepsilon)$となりそうである． $x$-方向同様の議論で，$O(\varepsilon)$ になりそうである．一方，$x$-方向同様に$p \approx O(\rho U^2)$という妥当そうなオーダーを用いて， $$ \frac{\partial p^\ast}{\partial y^\ast} = \frac{\partial (p / \rho U^2)}{\partial y / l} = \frac{l}{\varepsilon} \frac{\partial (p / \rho U^2)}{\partial y / \varepsilon} = O(1/\varepsilon) \frac{\partial O(1)}{\partial O(1)} \approx O(1/\varepsilon) $$
以上より，オーダーの推定を適応して$y$-方向のNS式を修正すると， $$ \begin{aligned} &\frac{\partial v^\ast}{\partial t^\ast} &+ &u^\ast \frac{\partial v^\ast}{\partial x^\ast} &+ &v^\ast \frac{\partial v^\ast}{\partial y^\ast} &= & - \frac{\partial p^\ast}{\partial y^\ast} &+ &\frac{1}{Re} &\left( \cancelto{0}{\frac{\partial^2 v^\ast}{\partial {x^\ast}^2}} + \frac{\partial^2 v^\ast}{\partial {y^\ast}^2} \right) \\ &O(\varepsilon)...④ &+&O(\varepsilon) &+&O(\varepsilon) &=&O(1/\varepsilon)...⑤ &+&O(\varepsilon^2)...③ &\left( O(\varepsilon) + O(1/\varepsilon) \right) \end{aligned} $$ さらにここで，項の近似を行う．今一番大きいのは⑤の圧力項($O(1/\varepsilon)$)であり，ほかの項はせいぜい$O(\varepsilon)$の大きさである．ゆえに，
$$ \begin{aligned} & \cancelto{0}{\frac{\partial v^\ast}{\partial t^\ast} } &+ & \cancelto{0}{ u^\ast \frac{\partial v^\ast}{\partial x^\ast} } &+ &\cancelto{0}{ v^\ast \frac{\partial v^\ast}{\partial y^\ast} } &= & - \frac{\partial p^\ast}{\partial y^\ast} &+ &\cancelto{0}{ \frac{1}{Re} \left( \frac{\partial^2 v^\ast}{\partial {y^\ast}^2} \right) } \\ &O(\varepsilon)...④ &+&O(\varepsilon) &+&O(\varepsilon) &=&O(1/\varepsilon)...⑤ &+&O(\varepsilon^2)...③ \left(O(1/\varepsilon) \right) \end{aligned} $$ $$ \therefore 0 = - \frac{\partial p^\ast}{\partial y^\ast} $$ となる．これは$y$-方向に圧力勾配がつかず，境界層内は境界層外縁の圧力と等しいことを意味する．このことは境界層が薄いことから$y$-方向には圧力は一定であろうという感覚と一致する．
プラントルの境界層方程式
前述で得られた$x$，$y$-方向それぞれの式において，$^\ast$付きの文字を通常の文字で定義しなおすと(めんどくさいので$^\ast$を外しただけ)， $$ \begin{equation} \left\{ \, \begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} & = - \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{1}{Re} \frac{\partial^2 u}{\partial {y}^2} \\ 0 & = - \frac{\partial p}{\partial y} \end{aligned} \right. \end{equation} $$ これをプラントルの境界層方程式と呼ぶ．
続きはそのうち．参考図書
日野幹雄，"理工学基礎講座16 流体力学"，朝倉書店，1974
日野幹雄，"流体力学"，朝倉書店，1992
巽友正，"新物理学シリーズ21 流体力学"，培風館，1982
神元五郎，"機械工学大系10 高速流動"，コロナ社，1976
近藤次郎，"高速空気力学"，コロナ社，1977
その他